Qu'est-ce que loi géométrique ?
La loi géométrique est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d'essais de Bernoulli nécessaires pour obtenir le premier succès. Elle est particulièrement utile pour analyser des situations où l'on répète une expérience jusqu'à obtenir le résultat désiré.
Caractéristiques principales :
- Variable aléatoire: Le nombre d'essais (X) jusqu'au premier succès.
- Paramètre: La probabilité de succès (p) lors de chaque essai. Chaque essai est indépendant et la probabilité de succès reste constante.
- Fonction de masse de probabilité (PMF): P(X = k) = (1-p)^(k-1) * p, où k est le nombre d'essais nécessaires (k = 1, 2, 3, ...). Cela signifie la probabilité d'obtenir le premier succès au k-ième essai est égale à la probabilité d'avoir (k-1) échecs suivis d'un succès.
- Fonction de répartition cumulative (CDF): P(X ≤ k) = 1 - (1-p)^k, qui représente la probabilité d'obtenir le premier succès dans les k premiers essais.
- Espérance mathématique (Valeur moyenne): E(X) = 1/p. C'est le nombre moyen d'essais que l'on peut s'attendre à effectuer avant d'obtenir le premier succès.
- Variance: Var(X) = (1-p) / p^2.
- Absence de mémoire (Memoryless Property): Une propriété cruciale de la loi géométrique est qu'elle "n'a pas de mémoire". Cela signifie que si vous avez déjà effectué un certain nombre d'essais sans succès, cela n'affecte pas la probabilité d'obtenir un succès lors du prochain essai. La probabilité d'obtenir un succès reste toujours 'p'.
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